数值分析：绪论1

数值分析：绪论1
- 分析流程
- 误差
  - 误差来源
  - 误差表示
  - 误差估计
  - 运算性质
    - 例1
    - 例2
    - 例3
    - 例4
- 有效数字
- 数值稳定性
  - 例1
  - 例2
  - 例3

分析流程

block1=>operation: 实际问题 block2=>operation: 数学模型 block3=>operation: 数值计算方法 block4=>operation: 程序设计 block5=>operation: 计算机计算求出结果 block1->block2->block3->block4->block5

误差

设数 $x$ 是精确值 $x^*$ 的一个近似值。

误差来源

模型误差：无法避免，数值分析不研究。
观测误差：无法避免，数值分析不研究。
截断误差（方法误差）：人为主观采用某种近似方法造成。
舍入误差（计算误差）：计算机只能存放浮点数近似值造成。

误差表示


绝对误差	$e(x)$	$e = \vert{x^*-x}\vert$
绝对误差限	$ε(x)$	$\vert{x^*-x}\vert ≤ ε(x)$
相对误差	$e_r(x)$	$e_r = \left\vert{\dfrac{x^*-x}{x}}\right\vert$
相对误差限	$ε_r(x)$	$\left\vert{\dfrac{x^*-x}{x}}\right\vert = e_r(x) ≤ ε_r(x) = \dfrac{ε(x)}{x}$

相对误差应为 $\left|{\dfrac{x^*-x}{x^*}}\right|$ ，但在实际计算中，认为 $x$ 是准确的，可将分母替换为 $x$ 。

误差估计

由 $f(x^*) - f(x) = f'(x)(x^*-x) + \dfrac{f''(ξ)}{2}(x^*-x)^2$ ，得

$ε[f(x)] ≈ |f'(x)|ε(x)|$

推理得

$ε[f(x_1,\cdots,x_n)] ≈ \sum_{k=1}^{n} \left| \dfrac{∂f}{∂x_k} \right| ε(x_k)$

运算性质

$ε(x_1±x_2) = ε(x_1) + ε(x_2)$ ，（这里等式右边就是只有加号）
$ε(x_1 ⋅ x_2) ≈ |x_1|ε(x_2) + |x_2|ε(x_1)$
$ε\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right) ≈ \dfrac{|x_1|ε(x_2) + |x_2|ε(x_1)}{|x_2|^2}$
$ε_r(x_1 ⋅ x_2) = ε_r(x_1) + ε_r(x_2)$

例1

设 $x$ 和 $y$ 的相对误差均为 $e_r = 0.001$ ，则 $x ⋅ y$ 的相对误差为多少。

$e_r(x) = 0.001 < ε_r(x)$
$e_r(y) = 0.001 < ε_r(y)$
$e_r(xy) < ε_r(xy) = ε_r(x) + ε_r(y)$
故 $e_r(x ⋅ y)$ 约为 $0.002$

例2

设 $x$ 和 $y$ 的绝对误差均为 $e = 0.001$ ，则 $x - y$ 的绝对误差为多少。

$e(x) = 0.001 < ε(x)$
$e(y) = 0.001 < ε(y)$
$e(x-y) < ε(x-y) = ε(x) + ε(y)$
故 $e(x - y)$ 约为 $0.002$

例3

设 $x=1.24$ 是由精确值 $x^*$ 经过四舍五入得到的近似值。

问

绝对误差限 $ε$ 是多少？
相对误差限 $ε_r$ 是多少？

解

$1.235≤x^*<1.245$
$⇒ ε=0.005$
$⇒ ε_r=\dfrac{0.005}{1.24} ≈ 0.4%$

结论

凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。

例4

计算球的体积（ $V=\dfrac{4}{3}πr^3$ ）要使相对误差限 $ε_r(V)=\dfrac{1}{100}$ ，问 $ε_r(r)$ 应为多少。

解

由题意得

$ε_r(V) = \dfrac{ε(V)}{V} = \dfrac{1}{100}$

由误差估计式得

$ε[V(r)] = 4πr^2 \cdot ε(r)$

综上可得

$\dfrac{1}{100} = \dfrac{ε(V)}{V} = \dfrac{4πr^2ε(r)}{\frac{4}{3}πr^3} = 3\dfrac{ε(r)}{r}$
$ε_r(r) = \dfrac{ε(r)}{r} = \dfrac{1}{300}$

有效数字

如果 $x$ 的绝对误差限 $e$ 是它的某一数位的半个单位（比如四舍五入这种情况），并且从 $x$ 左起第一个非零数字到该数位共有 $n$ 位，则称这 $n$ 个数字为 $x$ 的有效数字。即 $x$ 近似 $x^*$ 时有 $n$ 位有效数字。此外，我们认为精确值的有效数字有无穷多位。

标准浮点数

数 $x$ 总可以写成
$x=±0.a_1a_2{\dots}a_k×10^m$

其中 $a_1≠0$ 、 $\{a_2, \cdots, a_k\}∈[0, 9]$ ，该形式即称为标准浮点数。

有效数字和绝对误差限

当且仅当等价于充要条件

$x$ 作为 $x^*$ 的近似值，具有 $n$ 位有效数字，当且仅当

$|x^*-x| = e ≤ \frac{1}{2}×10^{m-n}$

$m$ ：近似值 $x$ 写成标准浮点数时的指数位置取值。
$n$ ：近似值 $x$ 的有效数字位数。

该方程反映了绝对误差 $e$ 和有效位数 $n$ 之间的关系。

有效数字和相对误差限

求相对误差限

若 $x$ 有 $n$ 位有效数字，则其相对误差限为：

$ε_r = \frac{1}{2a_1}×10^{1-n}$

$a_1$ ：近似值 $x$ 写成标准浮点数后，小数点后第一个非 $0$ 数字。
$n$ ：近似值 $x$ 取得的有效数字位数。

求有效数字

若 $x$ 的相对误差限满足：

$ε_r = \frac{1}{2(a_1+1)}×10^{1-n}$

则 $x$ 至少有 $n$ 位有效数字。

例1

使 $x^*=\sqrt{2}$ 的近似值的绝对误差 $e$ 小于 $10^{-5}$ 。

问

应取几位有效数字 $n$ ？
近似值 $x$ 的取值为多少？

解

$\sqrt{2} = 1.414{\cdots} = 0.141{\cdots}×10^1 ⇒ m = 1$
令 $|\sqrt{2} - x| ≤ \dfrac{1}{2}×10^{m-n} = \dfrac{1}{2}×10^{-5}$
得 $n=6$ ， $x=1.41421$ 。

例2

$x=0.0145\underline{8663}$ 为真值 $x^*=0.0145\underline{1845}$ 的近似，则 $x$ 的有效数字位数 $n$ 为？

解

$x = 0.1458663 × 10^{-1} { \ \ \ ⇒ \ \ \ } m=-1$

$e = 0.00006418 = 0.6418 × 10^{-4} ≤ \dfrac{1}{2}×10^{m-n} =\dfrac{1}{2}×10^{-3}$

综上可得 $n=2$

数值稳定性

即计算过程中，舍入误差不增长。

数值计算若干原则

避免两个相近的数相减（会造成有效数字丢失）
防止大数吃掉小数
绝对值过小的数不宜做除数
简化计算程序，减少计算次数
选用数值稳定性好的算法

例1

为减少舍入误差影响，应将 $10-\sqrt{99}$ 改写为

$\dfrac{10-\sqrt{99}}{1} × \dfrac{10+\sqrt{99}}{10+\sqrt{99}} = \dfrac{1}{10+\sqrt{99}}$

例2

递推公式 $\begin{cases} y_0 = \sqrt{2} \\ y_n = 10y_{n-1} - 1 & n = 1,2,\dots \end{cases}$ ，如果取 $y_0 = \sqrt{2} ≈ 1.41$ 作计算

（1）则计算到 $y_{10}$ 时，误差为多少？
（2）计算公式数值稳定吗？

解

$\begin{array}{l} e_0 = \sqrt{2} - 1.41 \\ e_1 = 10e_0 \\ e_2 = 10e_1 = 10^2e_0 \\ \dots \\ e_{10} = 10^{10}e_0 = 10^{10}(\sqrt{2} - 1.41) \end{array}$

明显，随着迭代次数增加，误差越来越大，故计算公式是不稳定的。

例3

计算 $(\sqrt{2}-1)^6$ 的近似值，取 $\sqrt{2} = 1.414$ ，在4位计算机上，试问以下哪种算法误差较小。

①： $\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^6}$

②： $\dfrac{1}{(3+2\sqrt{2})^3}$

解

①： $(\sqrt{2}-1)^6 = \left[ \dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} \right]^6 = \dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^6}$

②： $\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^6} = \dfrac{1}{\left[(\sqrt{2}+1)^2\right]^3} = \dfrac{1}{(3+2\sqrt{2})^3}$

设初始误差 $ε=\sqrt{2} - 1.414 < 1$

①： $\dfrac{1}{(C_1 + ε)^6})$
②： $\dfrac{1}{(C_2 + 2ε)^3}$

可以看出 $\dfrac{1}{ε^6} >> \dfrac{1}{8ε^3}$

故②方法更好。