概率论：随机变量

定义

X(e)X(e)为定义在SS上的实值单值函数，则称X(e)X(e)为随机变量。

随机变量类型

概率密度

概率密度函数对区间积分的面积就是事件在这个区间发生的概率。

∫−∞+∞f(t) dt=1\int\nolimits_{-∞}^{+∞}{f(t)}\,{\rm d}t = 1

离散型随机变量

随机变量XX的取值为有限个或可列无穷个。

P{X=xi}=pi,   (i=1,2,…,n)P\{ X=x_i \} = p_i, \ \ \ (i = 1, 2, \dots, n)

XX x1x_1 x2x_2 …\dots xnx_n
PP p1p_1 p2p_2 …\dots pnp_n

∑i=1npi=1\sum\limits_{i=1}^{n} p_i= 1

伯努力分布（Bernoulli Distribution）

若它的样本空间只包含两个元素，我们总能在S={e1,e2}S=\{e_1, e_2\}上定义一个服从伯努力分布分布的随机变量。

X={0e=e11e=e2X = \begin{cases} 0 & e=e_1 \\ 1 & e=e_2 \end{cases}

记为

X∼B(1,p):P{X=k}=pk(1−p)1−k,(k=0,1,… ;0<p<1)\begin{matrix} X∼B(1, p): & P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k}, & (k=0,1,\dots; 0<p<1) \end{matrix}

XX 00 11
PP 1−p1-p pp

二项分布（Binomial Distribution）

X∼B(n,p):P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,(k=0,1,… ;0<p<1)\begin{matrix} X∼B(n, p): & P\{X=k\} = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, & (k=0,1,\dots; 0<p<1) \end{matrix}

泊松分布（Poisson Distribution）

X∼P(λ):P{X=k}=λkk!e−λ,(k=0,1,2,… ;λ>0)\begin{matrix} X∼P(λ): & P\{X=k\} = \dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ}, & (k=0,1,2,\dots; λ>0) \end{matrix}

几何分布（Geometric Distribution）

X∼Geom(p):P{X=k}=pk−1(1−p),(k=1,2,… ;0<p<1)\begin{matrix} X∼Geom(p): & P\{X=k\} = p^{k-1}(1-p), & (k=1,2,\dots; 0<p<1) \end{matrix}

超几何分布（Hypergeometric Distribution）

X H(n,M,N):P{X=k}=CMkCN−Mn−kCNn,(k=0,1,2,…,min⁡(n,M))\begin{matrix} X~H(n,M,N): & P\{X=k\} = \dfrac {\mathop{C}_{M}^{k}\mathop{C}_{N-M}^{n-k}} {\mathop{C}_{N}^{n}}, & (k=0,1,2,\dots,\min(n,M)) \end{matrix}

连续型随机变量

均匀分布（Uniform Distribution）

X∼Unif(a,b)X∼Unif(a, b)

密度函数：f(x)={1b−a    a<x<b0    othersf(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} \ \ \ \ & a < x < b \\ 0 \ \ \ \ & others \end{cases}

分布函数：F(x)={0x<ax−ab−aa≤x≤b1x>bF(x)= \begin{cases} 0 & x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & a ≤ x ≤ b \\ 1 & x > b \end{cases}

指数分布（Exponential Distribution）

X∼Exp(λ)X∼Exp(λ)

密度函数：f(x)={λe−λx    x>00    x≤0f(x)= \begin{cases} λe^{-λx} \ \ \ \ & x>0 \\ 0 \ \ \ \ & x≤0 \end{cases}

分布函数：F(x)={1−e−λx    x>00    x≤0F(x)= \begin{cases} 1-e^{-λx} \ \ \ \ & x>0 \\ 0 \ \ \ \ & x≤0 \end{cases}

正态分布（Normal Distribution）

X∼N(μ,σ2)X∼N(μ, σ^2)

密度函数：f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2    −∞<x<+∞f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\dfrac{(x-μ)^2}{2σ^2}} \ \ \ \ -∞ < x < +∞

标准正态分布

X∼N(0,1)X∼N(0, 1)

标准正态分布的密度函数：φ(x)=12πe−x22φ(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}

标准正态分布的分布函数：Φ(x)=∫−∞x12πe−t22dtΦ(x)= \int_{-∞}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{t^2}{2}} {\rm d}t

埃尔朗分布（Erlang Distribution）

密度函数：f(x)={λn(n−1)!xn−1e−λx    x>00    x≤0f(x)= \begin{cases} \dfrac{λ^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-λx} \ \ \ \ & x>0 \\ 0 \ \ \ \ & x≤0 \end{cases}

卡方分布（chi-square Distribution）

密度函数：f(x)={12n2Γ(n2)xn2−1e−x2    x>00    x≤0f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \ \ \ \ & x>0 \\ 0 \ \ \ \ & x≤0 \end{cases}

伽马分布（Gamma Distribution）

X∼Γ(r,λ)X∼Γ(r, λ)

ΓΓ函数：Γ(r)=∫0+∞xr−1e−x dx,    x∈(0,+∞)Γ(r) = \int\nolimits_{0}^{+∞}{x^{r-1}e^{-x}}\,{\rm d}x, \ \ \ \ x∈(0, +∞)

密度函数：f(x)={λrΓ(r)xr−1e−λx    x>00    x≤0f(x)= \begin{cases} \dfrac{λ^r}{Γ(r)}x^{r-1}e^{-λx} \ \ \ \ & x>0 \\ 0 \ \ \ \ & x≤0 \end{cases}

当r=1,Γ(1)=1r=1, Γ(1)=1得到指数分布；
当r=n,Γ(n)=(n−1)!r=n, Γ(n)=(n-1)!得到埃尔朗分布；
当r=n2,λ=12r=\frac{n}{2}, λ=\frac{1}{2}得到卡方分布；