概率论：基础

• 概率论：基础
  • 排列组合
  • 事件
    • 基本事件运算
    • 事件类型
    • 运算定律
  • 概率
    • 基本性质
    • 运算性质
  • 古典概型
    • 例

排列组合

排列数

$\mathop{A}_{n}^{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}$

组合数

$\mathop{C}_{n}^{k} = \dfrac{\mathop{A}_{n}^{k}}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

事件

$A$、$B$为事件、$S$为样本空间。

基本事件运算

• $A∩B = \{x \bold{\ |\ } x∈A {\ \ and \ \ } x∈B\} = A ⋅ B = AB$
• $A∪B = \{x \bold{\ |\ } x∈A {\ \ or \ \ } x∈B\}$
• $A-B = \{x \bold{\ |\ } x∈A {\ \ and \ \ } x∉B\}$
• $\overline{A} = S-A$
• $\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_i$：所有$A_i$必须同时发生
• $\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i$：所有$A_i$至少有一个发生。

事件类型

事件类型	$A$与$B$关系
互斥事件	$A∩B=∅$
对立事件	$A∩B=∅$、$A∪B=S$记作$\overline{A}=B$
相同事件	$A⊂B$、$A⊃B$则$A=B$

运算定律

• 交换律
  • $A∩B=B∩A$
  • $A∪B=B∪A$
• 结合律
  • $(A∩B)∩C=A∩(B∩C)$
  • $(A∪B)∪C=A∪(B∪C)$
• 分配律
  • $A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)$
  • $A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)$
• 对偶律
  • $\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}$
  • $\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}$
• 对偶律推广
  • $\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_i = \bigcup\limits_{i=1}^{n} \overline{A_i}$
  • $\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i = \bigcap\limits_{i=1}^{n} \overline{A_i}$

概率

当试验的次数增加时，随机事件$A$发生的频率的稳定值$p$称为概率，记为$P(A)=p$。

基本性质

• 非负性
  • $P(A)≥0$
  • $P(∅)=0$
• 规范性
  • $P(S)=1$
  • $P(A)=1-P(\overline{A})$
• 可加性
  • 若事件间两两互斥则$P(\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i)$

运算性质

• $P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
  • $1-P(A∪B) = P(\overline{A∪B}) = P(\overline{A}∩\overline{B})$
  • $1-P(A∩B) = P(\overline{A∩B}) = P(\overline{A}∪\overline{B})$
• $P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$
  • $B⊂A \ \ ⇒ \ \ P(A-B)=P(A)-P(B)$
• 若$A$与$B$互斥$\ \ ⇒ \ \ P(AB)=P(A) \cdot P(B)$

古典概型

样本空间$S$中样本点有限（有限性），出现每一个样本点的概率相等（等可能性），称这种试验为等可能概型（古典概型）。

例

在一个箱子中共有7个球，3个黑球，四个白球

（1）无放回抽取3个球，取得两黑一白（事件$A$）的概率。

$P(A)= \dfrac {\mathop{C}_{3}^{2} \mathop{C}_{4}^{1}} {\mathop{C}_{7}^{3}} = \dfrac{12}{35}$

（2）有放回抽取3个球，取得两黑一白（事件$B$）的概率。

$P(B)= \mathop{C}_{3}^{2} × \left( \dfrac{3}{7} \right)^2 × \dfrac{4}{7}$