向量组

定义

有限个相同维数的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组

A=(a⃗1,a⃗2,a⃗3,…,a⃗n)A=(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3, \dots, \vec{a}_n)

向量组与矩阵

Y=AXY=AX表示向量XX和向量YY的一种映射关系，其中AA是描述这种关系的参数。

若令X=[x1x2⋮xn];Y=[y1y2⋮yn]X=\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]; Y=\left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right]，则[y1y2⋮yn]=A[x1x2⋮xn]\left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right]=A \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]。

系数矩阵

若BB能由AA线性表示，则：
[a1a2…am]×[k11k12…k1nk21k22…k2n⋮⋮⋱⋮km1km2…kmn]=[b1b2…bn]\left[\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \end{array}\right] × \left[\begin{array}{c} k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \dots & k_{mn} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array}\right]
其中[k11k12…k1nk21k22…k2n⋮⋮⋱⋮km1km2…kmn]\left[\begin{array}{c} k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \dots & k_{mn} \end{array}\right]即为系数矩阵。

线性相关

对nn维向量a1,a2,⋯ ,asa_1,a_2,\cdots,a_s，如果存在不全为零的数，使得

k1a1+k2a2+⋯+ksas=0k_1a_1+k_2a_2+\dots+k_sa_s=0

则称向量组a1,a2,⋯ ,asa_1,a_2,\cdots,a_s线性无关，否则称线性相关。

向量组等价

向量组BB能由向量组AA线性表示的充要条件为r(A)=r(B)r(A) = r(B)。
若BB能被AA线性表示的同时，AA也能被BB线性表示，则称AA与BB等价。

Schmidt正交化

已知α⃗1\vec{α}_1、α⃗2\vec{α}_2、α⃗3\vec{α}_3线性无关。

β⃗1=α⃗1\vec{β}_1 = \vec{α}_1

β⃗2=α⃗2−α⃗2∙β⃗1β⃗1∙β⃗1β⃗1\vec{β}_2 = \vec{α}_2 - \dfrac{ \vec{α}_2 \bullet \vec{β}_1 }{ \vec{β}_1 \bullet \vec{β}_1 }\vec{β}_1

β⃗3=α⃗3−α⃗3∙β⃗1β⃗1∙β⃗1β⃗1−α⃗3∙β⃗2β⃗2∙β⃗2β⃗2\vec{β}_3 = \vec{α}_3 - \dfrac{ \vec{α}_3 \bullet \vec{β}_1 }{ \vec{β}_1 \bullet \vec{β}_1 }\vec{β}_1 - \dfrac{ \vec{α}_3 \bullet \vec{β}_2 }{ \vec{β}_2 \bullet \vec{β}_2 }\vec{β}_2

则β⃗1\vec{β}_1、β⃗2\vec{β}_2、β⃗3\vec{β}_3为正交向量组。

γ⃗1=β⃗1∥β⃗1∥\vec{γ}_1 = \dfrac{\vec{β}_1}{\|\vec{β}_1\|}
γ⃗2=β⃗2∥β⃗2∥\vec{γ}_2 = \dfrac{\vec{β}_2}{\|\vec{β}_2\|}
γ⃗3=β⃗3∥β⃗3∥\vec{γ}_3 = \dfrac{\vec{β}_3}{\|\vec{β}_3\|}

从α⃗1\vec{α}_1、α⃗2\vec{α}_2、α⃗3\vec{α}_3到γ⃗1\vec{γ}_1、γ⃗2\vec{γ}_2、γ⃗3\vec{γ}_3即称为Schmidt正交化。