矩阵最小多项式

矩阵最小多项式
- 矩阵多项式

矩阵多项式

定义关于 $x$ 的多项式

$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x^{} + a_{0}$

对于方阵 $A$

$f(A) = a_{n}A^{n} + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_{1}A^{} + a_{0}E$

称为 $A$ 的矩阵多项式。

Cayley-Hamilton定理

$f(λ) = |λE-A|$ 为矩阵 $A$ 的特征多项式，则 $f(A) = 0$ ，即对于任意一个 $n$ 阶矩阵 $A$ ，一定存在多项式 $\varphi(λ)$ 使得 $\varphi(A)=0$ 。

即特征多项式 $|λE-A|$ 一定是零化多项式。

零化多项式

凡是能使 $\varphi(A)=0$ 的多项式 $\varphi(λ)$ 叫做矩阵 $A$ 的零化多项式。

明显，零化多项式乘上任意一个多项式还是零化多项式。

最小多项式

所有零化多项式中，次数最低，并且首项系数为 $1$ 的零化多项式称为最小多项式记作 $m(λ)$

最小多项式一定是零化多项式的因子

多项式 $\varphi(λ)$ 是零化多项式的充要条件为 $\varphi(λ)$ 可以被 $m(λ)$ 整除，也可表述为 $m(λ)$ 整除 $\varphi(λ)$

$\varphi(λ) = m(λ)q(λ) + r(λ)$

数字阵 $A_{n×n}$ 的派生 $λ$ 阵的最后一个不变因子 $d_r(λ)$ 就是 $A$ 的最小多项式。

又因为派生 $λ$ 阵一定满秩，则有 $n=r$ ，可得

$D_n(λ) = |λE-A| = d_1(λ) ⋅ d_2(λ) ⋅ d_3(λ) \cdots d_n(λ)$

其中 $d_n(λ)$ 即为数字阵 $A_{n×n}$ 的最小多项式。

例1

求矩阵 $\left[\begin{array}{c} 8 & -3 & 6 \\ 3 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & -2 \end{array}\right]$ 的最小多项式。

解

本题利用：数字阵 $A_{n×n}$ 的派生 $λ$ 阵的最后一个不变因子 $d_r(λ)$ 就是 $A$ 的最小多项式。

$|λE-A| = (λ-1)^2(λ-2)$

则有以下情况

$m_1(λ) = (λ-1)(λ-2)$
$m_2(λ) = (λ-1)^2(λ-2)$

检验 $m_1(A)$ ， $m_2(A)$ ，为 $0$ 的即为最小多项式。

得最小多项式 $m(λ) = (λ-1)^2(λ-2)$

例2

$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2-2A-3E=0$ ， $r(A-3E)=r$ ，求 $A$ 的Jordan标准型

解

本题利用：零化多项式一定包含最小多项式。

$A^2-2A-3E=0 { \ \ \ ⇒ \ \ \ } λ^2 - 2λ - 3 = 0 { \ \ \ ⇒ \ \ \ } (λ-3)(λ+1)=0$

则有以下情况

$m_1(λ) = (λ-3)$
$m_2(λ) = (λ+1)$
$m_3(λ) = (λ-3)(λ+1)$

若为 $m_1$ ，则 $A-3E=0$ 与 $r(A-3E)=r$ 矛盾
若为 $m_2$ ，则 $A+E=0 { \ \ \ ⇒ \ \ \ } A-3E=-4E$ 与 $r(A-3E)=r$ 矛盾

综上得

$m(λ) = (λ-3)(λ+1)$

即 $(λ-3)(λ+1)$ 为最后一个不变因子，在此之前的不变因子一定是 $(λ-3)(λ+1)$ 的因子，故只能为

$d_a(λ) = λ-3$
$d_b(λ) = λ+1$
$d_c(λ) = (λ-3)(λ+1)$

其中 $d_a(λ)$ 与 $d_b(λ)$ 不能共存。则初等因子只有 $λ-3$ 和 $λ+1$ 这两种。

又 $r(A-3E)=r$ ，故 $r(J-3E)=r$ ，即初等因子有 $r$ 个 $λ+1$ 和 $n-r$ 个有 $λ-3$

综上得Jordan标准型

$J = \left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 3 \\ & \ddots \\ && 3 \end{array}\right]_{n-r} \\ & \left[\begin{array}{c} -1 \\ &\ddots \\ && -1 \end{array}\right]_{r} \end{array}\right]$

对角化

$A$ 可以对角化的充要条件是 $A$ 的最小多项式无重根，即所有Jordan块都为1阶。

例

求 $\left[\begin{array}{c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right]_{n×n}$ 的最小多项式。

解

显然 $A$ 是对称阵，因此可对角化，则其最小多项式无重根

又 $|λE-A| = λ^{n-1}(λ-n)$

故 $m(λ) = λ(λ-n)$