二次型

二次型的定义

若含有$n$个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次函数

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \begin{array}{l} \\ a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 + \\ 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n + \\ 2a_{23}x_2x_3 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n + \\ \cdots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \end{array}$

可写成

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a_{11} & \frac{a_{12}}{2} & \cdots & \frac{a_{1n}}{2} \\ \frac{a_{12}}{2} & a_{22} & \cdots & \frac{a_{2n}}{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{a_{1n}}{2} & \frac{a_{2n}}{2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] = x^TAx$

其中$A^T = A$，称$A$为二次型矩阵。若$x^TAx>0$，则称$x^TAx$为正定二次型，$A$是正定矩阵。

标准形

若所有$a_{ij,i≠j}=0$，即只含有变量的平方顶，则称该二次型为标准形。

其中正的$a_{ii}$的个数称为正惯性指数，负的$a_{ii}$的个数称为负惯性指数。

规范形

在标准形的基础上，若所有$a_{ii} = 1,-1,0$，则称该二次型为规范形。