矩阵（Matrix）

• 矩阵（Matrix）
  • 矩阵计算
    • 乘法
      • 矩阵与向量乘法
      • 矩阵与矩阵乘法
    • 行列式
    • 转置
    • 共轭
    • 共轭转置
    • 逆
  • 特殊矩阵
    • 零矩阵
    • 单位矩阵
    • 初等矩阵
    • 三角矩阵
      • 主对角
      • 副对角
    • 希尔伯特（Hilbert ）矩阵
    • 行阶梯矩阵
    • 伴随矩阵
    • 范德蒙矩阵
    • 对称矩阵
    • 正交
      • 正交向量
      • 正交矩阵

矩阵计算

乘法

矩阵与向量乘法

$\left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right]_{m×n} \cdot \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]_{n×1} = \left[\begin{array}{c} a_{11}b_1 + a_{12}b_2 + \cdots + a_{1n}b_n \\ a_{21}b_1 + a_{22}b_2 + \cdots + a_{2n}b_n \\ \vdots \\ a_{m1}b_1 + a_{m2}b_2 + \cdots + a_{mn}b_n \end{array}\right]_{m×n}$

矩阵与矩阵乘法

线性代数的本质：矩阵乘法

$A_{m×n}×B_{n×s}$：左阵定行，右阵定列；内等外定。

$\left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right]_{m×n} \cdot \left[\begin{array}{c} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \end{array}\right]_{n×s} = \left[\begin{array}{c} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \cdots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + \cdots + a_{1n}b_{n2} & \dots & a_{11}b_{1m} + a_{12}b_{2m} + \cdots + a_{1n}b_{nm} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + \cdots + a_{2n}b_{n1} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + \cdots + a_{2n}b_{n2} & \dots & a_{21}b_{1m} + a_{22}b_{2m} + \cdots + a_{2n}b_{nm} \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ a_{m1}b_{11} + a_{m2}b_{22} + \cdots + a_{mn}b_{n1} & a_{m1}b_{12} + a_{m2}b_{22} + \cdots + a_{mn}b_{n2} & \dots & a_{m1}b_{1m} + a_{m2}b_{2m} + \cdots + a_{mn}b_{nm} \end{array}\right]_{m×s}$

性质

• $AB ≠ BA$
• $A(BC) = (AB)C$
• $A(B+C) = AB+AC$
• $(kA)(lB) = kl⋅AB$
• $AE=A$、$EA=A$
• $AO=O$、$EO=O$

行列式

$|A|=\det(A)= \left|\begin{array}{c} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|_{n×n} = \sum\limits_{j=1}^{n} a_{rj}A_{rj} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ic}A_{ic}$

• $r$：选定的行
• $c$：选定的列
• $A_{rj}$、$A_{ic}$：代数余子式

特别的：

• $|A_{1×1}|=a_{11}$
• $|A_{2×2}|=a_{11}a_{12} - a_{21}a_{12}$
• $|A_{3×3}|= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{31}a_{23}a_{12} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{33}a_{21}a_{12}$

计算性质

• $|A^T| = |A|$
• $|kA| = k^n|A|$
• $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$
• $|A^*| = |A|^{n-1}$
• $|A| = \prod_{i=1}^{n} λ_i$，（$λ_i$为$A$的特征值）
• $|AB| = |A|⋅|B| = |BA|$
• $A∼B \,\,⇒\,\, |A|=|B|$

拉普拉斯展开

$\left|\begin{array}{c} A & * \\ O & B \end{array}\right|_{n×n} =|A|⋅|B| \newline\,\newline \left|\begin{array}{c} A & O \\ * & B \end{array}\right|_{n×n} =|A|⋅|B| \newline\,\newline \left|\begin{array}{c} * & A \\ B & O \end{array}\right|_{n×n} =(-1)^{mn}|A|⋅|B| \newline\,\newline \left|\begin{array}{c} O & A \\ B & * \end{array}\right|_{n×n} =(-1)^{mn}|A|⋅|B|$

转置

$\left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array}\right]_{m×n}^T = \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{array}\right]_{n×m}$

计算性质

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^TA^T$

共轭

实部不变，虚部取负。记作$\overline{A}$。

共轭转置

$A^H = (\overline{A})^T = \overline{A^T}$

逆

方法一

$A^{-1} = \dfrac{A^*}{|A|}$

方法二

$(A | E) \xrightarrow{初等行变换} (E | A^{-1})$

计算性质

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
• $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
• $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
• $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

性质

• $A$可逆$\ \ \ ⇔ \ \ \ r(A_{n×n})=n$
• $A$可逆$\ \ \ ⇔ \ \ \ |A|≠0$
• $A$可逆$\ \ \ ⇔ \ \ \ Ax=0$仅有$0$解
• $A$可逆$\ \ \ ⇔ \ \ \ A$的行（列）向量线性无关
• $A$可逆$\ \ \ ⇔ \ \ \ 0$不是$A$的特征值

特殊矩阵

零矩阵

所有元素均为0的矩阵。

$0= \left[\begin{array}{c} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]_{m×n}$

单位矩阵

主对角线均为1，其余均为0的矩阵。

$E= \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right]_{n×n}$

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

左行右列规则

• 对矩阵$A$左乘一个初等矩阵，等于对$A$做相应的行变换
• 对矩阵$A$右乘一个初等矩阵，等于对$A$做相应的列变换

三角矩阵

主对角

主对角矩阵的行列式满足：$|A| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

上三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

下三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

单位上三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} 1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 1 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right]_{n×n}$

单位下三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 1 \end{array}\right]_{n×n}$

副对角

副对角矩阵的行列式满足：$|A| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$

三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} & & & a_{1n} \\ & & a_{2,n-1} & \\ & & & \\ a_{n1} & & & \end{array}\right]_{n×n}$

希尔伯特（Hilbert ）矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n} \\\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \cdots & \frac{1}{n+2} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{array}\right]_{n×n}$

• $a_{ij} = \dfrac{1}{i+j-1}$

行阶梯矩阵

$eg: \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ 0 & 0 & 0 & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{45} \end{array}\right]$

对系数矩阵做初等行变换不影响方程组结果。

• 交换两个方程次序
• 数乘某个方程
• 一个方程的$k$倍加到另一个方程上

性质

• 行阶梯矩阵的秩就是其非零行数

伴随矩阵

$A^*= \left[\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

注意$A^*$是矩阵$A$每个元素替换为其代数余子式再转置得到的。

计算性质

• $AA^* = A^*A = |A|E$
• $A^* = |A|A^{-1}$
• $|A^*| = |A|^{n-1}$
• $(A^*)^{-1} = (A^{-1})^{*} = \dfrac{A}{|A|}$
• $(A^*)^T = (A^T)^*$
• $(kA)^* = k^{n-1} A^*$
• $(A^*)^* = |A|^{n-2}A$

$r(A^*)= \begin{cases} n, & if \ \ \ r(A)=n \\ 1, & if \ \ \ r(A)=n-1 \\ 0, & if \ \ \ r(A)<n-1 \end{cases}$

范德蒙矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & & x_n^{n-1} \end{array}\right]_{n×n}$

其行列式（范德蒙行列式）为$\prod\limits_{1≤j<i≤n} (x_i-x_j)$。

对称矩阵

满足$A^T=A$的矩阵。

正交

正交向量

若$\vec{a}$与$\vec{b}$正交，则$\vec{a} ⋅ \vec{b} = 0$。

正交矩阵

若$n$阶方阵$A$满足$AA^T=A^TA=E$，则称$A$为正交矩阵，简称正交阵。

充要条件

$A = \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix}\right]$

$A^TA = \left[\begin{matrix} {a_1}^T \\ {a_2}^T \\ \vdots \\ {a_n}^T \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} {a_1}^T a_1 & {a_1}^T a_2 & \cdots & {a_1}^T a_n \\ {a_2}^T a_1 & {a_2}^T a_2 & \cdots & {a_2}^T a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_n}^T a_1 & {a_n}^T a_2 & \cdots & {a_n}^T a_n \end{matrix}\right] = E$

即$\begin{cases} {a_i}^T {a_j} = 1 & i=j \\ {a_i}^T {a_j} = 0 & i≠j \end{cases}$

$A$是正交阵的充要条件是$A$的列（行）向量都是单位向量，且两两正交。

正交变换

若$A$为正交阵，$x$为向量，$Ax$称为正交变换。
正交变换不改变向量的长度。

性质

• $A$为正交阵$\,\,⇔\,\, A^T=A^{-1}$
• $A$为正交阵$\,\,⇒\,\, |A|^2 = 1$
• 若$A$为正交阵，则$A^{-1}$也是正交阵
• 若$P$、$Q$为正交阵，则$P×Q$也是正交阵