线性空间

定义

直观理解：给元素装配了加法和数乘的非空集合。

设PP是一个数域，VV是一个非空集合。如果下列条件被满足，则称VV是PP上的一个线性空间。

PnP^n

数域PP的全体nn元数组(x1,x2,⋯,xn)T(x_1,x_2,⋯,x_n)^T构成𝑃𝑃上的一个线性空间，记作PnP^n。

Pm×nP^{m×n}

数域PP的全体m×nm×n矩阵组成的集合在通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法下构成PP上的一个线性空间，称为矩阵空间，记作Pm×nP^{m×n}。

Pn(t)P_n(t)

Pn(t)={a0+a1t+a2t2+⋯+antn ∣ ak∈R}P_n(t) = \{ a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots + a_nt^n \bold{\ |\ } a_k∈R \}

表示至多nn次多项式的全体形成的集合，称为实nn次多项式空间。

其中1,t,t2,…,tn1,t,t^2,\dots,t^n是Pn(t)P_n(t)的一组基。

N(A)N(A)

N(A)={x ∣ Ax=0,x∈Rn,A∈Rm×n}N(A) = \{ x \bold{\ |\ } Ax=0, x∈R^n, A∈R^{m×n} \}

称N(A)N(A)为矩阵AA的零空间（核空间）。

基

定义

设VV是数域VV上的一个线性空间，VV中满足以下两个条件的向量组α1,α2,…,αnα_1, α_2, \dots, α_n称为VV的基

此时，称nn为线性空间VV的维数。线性空间VV的维数记为dim⁡(V)dim⁡(V)。

例

A=[112−1]A = \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right]，VA={X ∣ AX=XA,X∈R2×2}V_A = \{ X \bold{\ |\ } AX=XA,X∈R^{2×2} \}，求VAV_A的基与维数。

解

令X=[x1x2x3x4]X= \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right]

AX=[112−1][x1x2x3x4]=[x1+x3x2+x42x1−x32x2−x4]AX = \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} x_1+x_3 & x_2+x_4 \\ 2x_1−x_3 & 2x_2−x_4 \end{array}\right]

XA=[x1x2x3x4][112−1]=[x1+2x2x1−x2x3+2x4x3−x4]XA = \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} x_1+2x_2 & x_1-x_2 \\ x_3+2x_4 & x_3−x_4 \end{array}\right]

由AX=XAAX=XA得{x1=2x2+x4x2=x2x3=2x2x4=x4\begin{cases} x_1=2x_2+x_4 \\ x_2=x_2 \\ x_3=2x_2 \\ x_4=x_4 \end{cases}

则X=[2x2+x4x22x2x4]=x2[2120]+x4[1001]X = \left[\begin{array}{c} 2x_2+x_4 & x_2 \\ 2x_2 & x_4 \end{array}\right] = x_2 \left[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right] + x_4 \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]

即基为[2120]\left[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]和[1001]\left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]，维数是2。

坐标

向量由基的唯一表示称为向量在该基下的坐标，两个向量相加可以看作是它们的坐标相加。

[γ1γ2⋯γm]1×m=[α1α2⋯αn]1×n[c11c12…c1mc21c22…c2m⋮⋮⋱⋮cn1cn2…cnm]n×m\left[\begin{array}{c} γ_1 & γ_2 & \cdots & γ_m \end{array}\right]_{1×m} = \left[\begin{array}{c} α_1 & α_2 & \cdots & α_n \end{array}\right]_{1×n} \left[\begin{array}{c} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1m} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nm} \end{array}\right]_{n×m}

[c1ic2i⋯cni]T\left[\begin{array}{c} c_{1i} & c_{2i} & \cdots & c_{ni} \end{array}\right]^T即为向量γiγ_i在基αα下的坐标。

例

求{f1(t)=1+4t−2t2+t3f2(t)=−1+9t−3t2+2t3f3(t)=−5+6t+t3f4(t)=5+7t−5t2+2t3\begin{cases} f_1(t) = 1 + 4t - 2t^2 + t^3 \\ f_2(t) = -1 + 9t - 3t^2 + 2t^3 \\ f_3(t) = -5 + 6t + t^3 \\ f_4(t) = 5 + 7t - 5t^2 + 2t^3 \end{cases}的秩和极大线性无关组。

解

[f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)]=[1tt2t3][1−1−554967−2−30−51212]\left[\begin{array}{c} f_1(t) & f_2(t) & f_3(t) & f_4(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 & t & t^2 & t^3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & -1 & -5 & 5 \\ 4 & 9 & 6 & 7 \\ -2 & -3 & 0 & -5 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right]

[1−1−554967−2−30−51212]→初等行变换[1−1−55012−100000000]\left[\begin{array}{c} 1 & -1 & -5 & 5 \\ 4 & 9 & 6 & 7 \\ -2 & -3 & 0 & -5 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right] \xrightarrow[]{初等行变换} \left[\begin{array}{c} 1 & -1 & -5 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

故r([f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)])=2r(\left[\begin{array}{c} f_1(t) & f_2(t) & f_3(t) & f_4(t) \end{array}\right])=2，极大线性无关组为

以上任意一组。

过度矩阵

若存在两组基αα、ββ，且

β=αAβ = αA

则矩阵AA称为基αα到基ββ的过度矩阵（过度矩阵一定可逆），上式称为基变换公式。

若γ=αx=βyγ = αx = βy，其中xx、yy分别为向量γγ在不同基下的坐标，则αx=(αA)yαx = (αA)y即

x=Ayx = Ay

基的构造

若αα是一组基，AA可逆，则β=αAβ=αA也是一组基。

例1

已知α1,α2,α3α_1,α_2,α_3是3维线性空间VV的一组基，向量组β1,β2,β3β_1,β_2,β_3满足

{β1+β3=α1+α2+α3β1+β2=α2+α3β2+β3=α1+α3\begin{cases} β_1 + β_3 = α_1 + α_2 + α_3 \\ β_1 + β_2 = α_2 + α_3 \\ β_2 + β_3 = α_1 + α_3 \end{cases}

(1) 证明β1,β2,β3β_1, β_2, β_3也是VV的一组基。
(2) 求由基β1,β2,β3β_1, β_2, β_3到基α1,α2,α3α_1, α_2, α_3的过渡矩阵。
(3) 求向量α1+2α2−α3α_1 + 2α_2 − α_3在基β1,β2,β3β_1, β_2, β_3下的坐标。

解

易得[β1β2β3]=[α1α2α3][001100121212]\left[\begin{array}{c} β_1 & β_2 & β_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} α_1 & α_2 & α_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]

记C=[001100121212]C=\left[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]，明显CC可逆，故β1,β2,β3β_1, β_2, β_3也是VV的一组基。

β=αC   ⇒   α=βC−1β=αC { \ \ \ ⇒ \ \ \ } α=βC^{-1}，易得过渡矩阵C−1=[01011−2100]C^{-1}=\left[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & −2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]

α1+2α2−α3=α[12−1]=βC−1[12−1]=β[251]α_1 + 2α_2 − α_3 = α \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right] = βC^{-1} \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right] = β \left[\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]

例2

已知R2×2R^{2×2}的两组基

(1)由基①到基②的过渡矩阵。
(2)求在基①与基②下有相同坐标的矩阵。

解

取R2×2R^{2×2}中的一组自然基③=[[1000],[0100],[0010],[0001]]③=\left[ \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \right]

则

则③=①A−1=②B−1③ = ①A^{-1} = ②B^{-1}，即②=①A−1B② = ①A^{-1}B

此处计算A−1BA^{-1}B（略）

设X=[x1x2x3x4]X = \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right]，则X=③[x1x2x3x4]=①A−1[x1x2x3x4]=②B−1[x1x2x3x4]X = ③ \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = ①A^{-1} \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = ②B^{-1} \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right]

坐标相同即A−1[x1x2x3x4]=B−1[x1x2x3x4]A^{-1} \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = B^{-1} \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right]

(A−1−B−1)[x1x2x3x4]=0(A^{-1} - B^{-1}) \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = 0

结果即为齐次线性方程组的解