线性空间：线性变换

• 线性空间：线性变换
  • 定义
  • 值域与核
    • 值域
    • 核
      • 例1
      • 例2
  • 表示矩阵
    • 定义
      • 例
    • 抽象组合
    • 坐标关系
    • 线性变换复合
      • 例
    • 基过度
  • 不变子空间
  • 线性变换的特征值与特征向量

定义

对于任意$α,β∈V$，$k∈P$，映射$T$满足

• $T(α + β) = T(α) + T(β)$
• $T(kα) = kT(α)$

则称$T$是线性空间$V$的线性变换。

几个线性变换

• $T(f(t)) = \int_{0}^{t_0} f(t) {\rm d}t$，$f(t)∈P_n(t)$
• $T(X) = AX - XB$，$X∈R^{n×n}$且$X$为非零矩阵

值域与核

线性空间$V$的线性变换$T$的值域与核都是$V$的线性子空间。

值域

$R(T) = \{ T(α) \bold{\ |\ } α∈V \}$

称值域的维数（有结构的）为$T$的秩，记为$rank(T)$。

若$α$是$V$的一组基，则$R(T) = Span\{ T(α_1), T(α_2), \dots, T(α_n) \}$。

核

$N(T) = \{ α \bold{\ |\ } T(α)=0,α∈V \}$

记作$Ker(T)$或$N(T)$或$T^{-1}(T)$，称为零空间或核子空间。

称核子空间的维数$dim(N(T))$（没有结构的）为$T$的亏度（或零度）。

设$x∈V$，则$T(x) = 0$，解得表达式，再将自由变量带回$x$，即得$N(T)$的基。

例1

$T$是$P_4(x)$中的如下线性变换

$T\big(f(x)\big) = f''(x) + f(1)$

（1）求$T$的值域$R(T)$的基与维数；
（2）求$T$的核空间$N(T)$的基与维数。

解

（1）

取$P_4(x)$的一组基$1,x,x^2,x^3,x^4$。

$\begin{array}{l} R(T) \\ \\\\ \\\\ \\\\ \end{array} \begin{array}{l} = Span \{ T(1),T(x),T(x^2),T(x^3),T(x^4) \} \\\\ = Span \{ 0+1, 0+1, 2+1, 6x+1, 12x^2+1 \} \\\\ = Span \{ 1, 6x+1, 12x^2+1 \} \\\\ = Span \{ 1, x, x^2 \} \end{array}$

故$1, x, x^2$是$R(T)$的一组基，$dim(R(T)) = 3$。

（2）

设$α = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$

$T(α) = (2a_2 + 6a_3x + 12a_4x^2) + (a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)$

若$α∈N(T)$则$T(α) = (2a_2 + 6a_3x + 12a_4x^2) + (a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) = 0$

$\begin{cases} a_0+a_1+3a_2+a_3+a_4 = 0 \\ 6a_3 = 0 \\ 12a_4 = 0 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a_0 = -a_1- 3a_2 \\ a_1 = a_1 \\ a_2 = a_2 \\ a_3 = 0 \\ a_4 = 0 \end{cases}$（取$a_1,a_2$为自由变量）

则$α = a_1(x_1-1) + a_2(x^2-3)$

故$\left[\begin{array}{c} x_1-1 & x^2-3 \end{array}\right]$即为$N(T)$的基，$dim(N(T))=2$。

例2

已知$R^{2×2}$的线性变换$T(X) = MX - XM$，其中$X∈R^{2×2}, M=\left[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}\right]$，求$R[T]$、$N[T]$的基与维数。

解

取$R^{2×2}$的一组基

$\left[\begin{array}{c} E_{11} & E_{12} & E_{21} & E_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \end{array}\right]$

则$R[T] = Span\left[\begin{array}{c} T(E_{11}) & T(E_{12}) & T(E_{21}) & T(E_{22}) \end{array}\right] =$

$Span\left(\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & -2 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}\right)$

观察可知$dim(R[T])=2$，即$R[T]=Span\left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & -2 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}\right]$

设$X = \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right]$则

$T(X) = \left[\begin{array}{c} 2x_3 & 2x_4 - 2x_2 - 2x_1 \\ 2x_3 & -2x_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$

解得$\begin{cases} x_1 = x_1 \\ x_2 = x_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = x_2 + x_1 \end{cases}$，$X = \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ 0 & x_1 + x_2 \end{array}\right] = x_1 \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] + x_2 \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

即$dim(N[T])=2$，$\left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$是$N[T]$的基。

表示矩阵

定义

$α = (α_1,α_2,\dots,α_n)$是$V$的一组基，有

• $T(α_1) = a_{11}α_1 + a_{21}α_2 + \cdots + a_{n1}α_n$
• $T(α_2) = a_{12}α_1 + a_{22}α_2 + \cdots + a_{n2}α_n$
• $\cdots$
• $T(α_n) = a_{1n}α_1 + a_{2n}α_2 + \cdots + a_{nn}α_n$

则$\left[\begin{array}{c} T(α_1) & \cdots & T(α_n) \end{array}\right] = T(α_1, \dots, α_n) = \left[\begin{array}{c} α_1 & \cdots & α_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right] =αA$

即

$T(α) = αA$

则称$A$为$T$在基$α$下的表示矩阵（也可看做$T(α)$在基$α$下的坐标）。

例

线性空间$P^{3×3}$的线性变换$σ$为

$σ \left( \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right] \right) = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2 \end{array}\right]$

求$σ$在标准基$(ε_1, ε_2, ε_3) = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]$下的表示矩阵。

解

$σ \left( \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right] \right) = \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]$

即求$σ(ε_1, ε_2, ε_3) = (ε_1, ε_2, ε_3)A$的矩阵$A$。

$\begin{array}{l} σ(ε_1, ε_2, ε_3) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} = \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} ε_1 & ε_2 & ε_3 \end{array}\right] \\\\= \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\\\ = \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \\\\ = \left[\begin{array}{c} ε_1 & ε_2 & ε_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \end{array}$

综上可得$A = \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$。

抽象组合

$T$作用到抽象向量组的组合上，形式上组合系数直接提到外面

$\begin{array}{l} T\left( \left[\begin{array}{c} α_1 & \cdots & α_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] \right) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ = T(x_1α_1 + \cdots + x_nα_n) \\ \\ = x_1T(α_1) + \cdots + x_nT(α_n) \\ \\ = \left[\begin{array}{c} T(α_1) & \cdots & T(α_n) \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] \\ = T(α_1,\dots,α_n) \left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] \end{array}$

上式，当$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]$替换为矩阵$X$时同样适用，即

$T(αX) = T(α)X = αAX$

坐标关系

当$α,T(α)$在基$α$下的坐标分别是$x,y$时

$\begin{cases} T(α) = T(αx) = αAx \\ T(α) = αy \end{cases} { \ \ \ ⇒ \ \ \ } αAx = αy { \ \ \ ⇒ \ \ \ } y = Ax$

当$A$可逆时

• ${ \ \ \ ⇔ \ \ \ } R(T)$满
• ${ \ \ \ ⇔ \ \ \ } T$可逆

线性变换复合

若在基$α$下，$T_1(α) = αA$，$T_2(α) = αB$，则

• $T_1+T_2$的表示矩阵为$A+B$
• $kT_1$的表示矩阵为$kA$
• $T_1T_2$的表示矩阵为$AB$
• 若$T_1$可逆，则$T_1^{-1}$的表示矩阵为$A^{-1}$

例

在$R^{2×2}$上的变换$T(X)= X \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$，$S(X)= X \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right]$

（1）$T+S$，$TS$在基$e = \left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \end{array}\right]$下的矩阵；
（2）$T,S$是否可逆，若可逆，求其其逆变换。

解

（1）

$T(e) = e \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \end{array}\right]$

$T(e) = e \left[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow[]{记为} eA$

$S(e) = e \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right] \end{array}\right]$

$S(e) = e \left[\begin{array}{c} 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow[]{记为} eB$

则$T+S$的表示矩阵为$A+B$，$TS$的表示矩阵为$AB$（计算略）。

（2）明显$r(B)≠4$，$S$不可逆；计算得$r(A)=4$，接下来求$T^{-1}$（$T^{-1}$也是一个线性变换）

$X = T^{-1}\big(T(X)\big) = T^{-1} \left( X \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \right) = T^{-1}(X) \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$

综上

$T^{-1}(X) = X \left[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]^{-1}$

基过度

$T$在基$α,β$下的表示矩阵为$A,B$，且$β=αP$则

$\begin{cases} T(α) = αA \\ T(β) = \underline{β}B = αPB \\ T(β) = T(αP) = \underline{T(α)}P = αAP \end{cases} { \ \ \ ⇒ \ \ \ } αPB = αAP { \ \ \ ⇒ \ \ \ }$

$B = P^{-1}AP$

不变子空间

$W$是$V$的子空间，若对于任意向量$α∈W$，有$T(α)∈W$，则称$W$是线性变换$T$的不变子空间，简称T子空间。

显然零空间是任何线性变换的不变子空间，称为平凡不变子空间。

线性变换的特征值与特征向量

设$T$是数域$P$上$n$维线性空间$V$的线性变换。如果对于数域$P$中的某一个数$λ$，存在非零向量$α∈V$，使得

$T(α)=λα$

成立，则称$λ$为线性变换$T$的特征值，$α$为线性变换$T$的属于特征值$λ$的特征向量。

求线性变换的特征值与特征向量

取基为$α$

• 特征值：求线性变换在该基下表示矩阵$A$的特征值，即为线性变换的特征值；
• 特征向量：$A$的特征向量左乘基$α$，即为线性变换的特征向量。