线性空间：线性子空间

定义

设VV是数域PP上的一个线性空间，SS为VV中的一个非空子集。若SS对于VV中定义的加法与数乘构成一个线性空间，则SS称为VV的线性子空间。充要条件是SS对于VV中的线性运算封闭（α+β∈S,kα∈Sα+β∈S,kα∈S）。

单独一个零向量构成的子集{0}\{0\}与VV都是VV的线性子空间，称它们为线性空间VV的平凡子空间。

子空间的一组基可以扩成大空间的一组基。

生成子空间

如果VV是数域PP上的一个线性空间，α1,α2,…,αmα_1, α_2, \dots,α_m是给定的mm个向量，定义一个集合

S={λ1α1+⋯+λmαm ∣ λ1,…,λm∈P}S = \{ λ_1α_1 + \cdots + λ_mα_m \bold{\ |\ } λ_1,\dots,λ_m ∈ P\}

显然集合SS非空，且SS对于VV中的线性运算封闭，因此SS是VV的子空间，记作Span(α1,α2,…,αm)Span(α_1, α_2, \dots,α_m)，称为生成子空间，α1,α2,…,αmα_1, α_2, \dots,α_m称为生成元。其生成元的极大线性无关组就是生成子空间的一组基。

例

{f1(t)=1+4t−2t2+t3f2(t)=−1+9t−3t2+2t3f3(t)=−5+6t+t3f4(t)=5+7t−5t2+2t3\begin{cases} f_1(t) = 1 + 4t - 2t^2 + t^3 \\ f_2(t) = -1 + 9t - 3t^2 + 2t^3 \\ f_3(t) = -5 + 6t + t^3 \\ f_4(t) = 5 + 7t - 5t^2 + 2t^3 \end{cases}

(1) 求Span{f1(t),f2(t),f3(t),f4(t)}Span\{f_1(t), f_2(t), f_3(t), f_4(t) \}的基与维数。
(2) 将Span{f1(t),f2(t),f3(t),f4(t)}Span\{f_1(t), f_2(t), f_3(t), f_4(t) \}的基扩充成P3(t)P_3(t)的基。

解

[f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)]=[1tt2t3]A\left[\begin{array}{c} f_1(t) & f_2(t) & f_3(t) & f_4(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 & t & t^2 & t^3 \end{array}\right] A

A=[1−1−554967−2−30−51212]→初等行变换[1−1−55012−100000000]A = \left[\begin{array}{c} 1 & -1 & -5 & 5 \\ 4 & 9 & 6 & 7 \\ -2 & -3 & 0 & -5 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right] \xrightarrow[]{初等行变换} \left[\begin{array}{c} 1 & -1 & -5 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

取生成子空间的基(f1,f2)(f_1, f_2)

[f1f2??]=[1tt2t3][1−1??49??−2−3??12??]\left[\begin{array}{c} f_1 & f_2 & ? & ? \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 & t & t^2 & t^3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & -1 & ? & ? \\ 4 & 9 & ? & ? \\ -2 & -3 & ? & ? \\ 1 & 2 & ? & ? \end{array}\right]

仅需在右侧矩阵添加两列（原则上任意，但简单方便计算）并使其可逆，添加[00001001]\left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]后得

[f1f2t2t3]=[1tt2t3][1−1004900−2−3101201]\left[\begin{array}{c} f_1 & f_2 & t^2 & t^3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 & t & t^2 & t^3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right]

得到P3(t)P_3(t)的一组基(f1,f2,t2,t3)(f_1, f_2, t^2, t^3)。

子空间的交并

交空间

设V1V_1，V2V_2是线性空间VV的子空间，V1∩V2V_1∩V_2（V1∩V2V_1∩V_2没有结构）也是VV的子空间（V1∪V2V_1∪V_2不是子空间），称这个子空间为V1V_1与V2V_2的交空间。

和空间

设V1V_1，V2V_2是线性空间VV的子空间

V1+V2={α1+α2 ∣ α1∈V1,α2∈V2}V_1 + V_2 = \{ α_1+α_2 \bold{\ |\ } α_1∈V_1, α_2∈V_2 \}

也是VV的子空间，称这个子空间为V1V_1与V2V_2的和空间。

例

α1=[1210],α2=[−1111],β1=[2−101],β2=[1−137]α_1 = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], α_2 = \left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], β_1 = \left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], β_2 = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 7 \end{array}\right]

V1=Span(α1,α2)V_1 = Span(α_1, α_2)
V2=Span(β1,β2)V_2 = Span(β_1, β_2)

（1）求V1+V2V_1+V_2的维数及基。
（2）求V2∩V2V_2∩V_2的维数及基。

解

V1+V2=Span(α1,α2,β1,β2)V_1+V_2 = Span(α_1, α_2, β_1, β_2)

[1−12121−1−111030117]→初等行变换[1−12101−3−5004120000]\left[\begin{array}{c} 1 & −1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \end{array}\right] \xrightarrow[]{初等行变换} \left[\begin{array}{c} 1 & −1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & −3 & −5 \\ 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

明显r(α1,α2,β1,β2)=3r(α_1, α_2, β_1, β_2)=3，基为(α1,α2,β1)(α_1, α_2, β_1)或(α1,α2,β2)(α_1, α_2, β_2)。

对任意向量γγ有γ=a1α1+a2α2=b1β1+b2β2γ = a_1α_1 + a_2α_2 = b_1β_1 + b_2β_2即

[α1α2−β1−β2][a1a2b1b2]=0\left[\begin{array}{c} α_1 & α_2 & -β_1 & -β_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ b_1 \\ b_2 \end{array}\right] = 0

解得[a1a2b1b2]=k[1−43−1]\left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ b_1 \\ b_2 \end{array}\right] = k \left[\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right]，则

γ=a1α1+a2α2=kα1−4kα2=b1β1+b2β2=3kβ1−kβ2=k[5−2−3−4]\begin{matrix} γ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \begin{matrix} = a_1α_1 + a_2α_2 & = & kα_1 - 4kα_2 \\ = b_1β_1 + b_2β_2 & = & 3kβ_1 - kβ_2 \\ = k \left[\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ -3 \\ -4 \end{array}\right] \end{matrix}

故[5−2−3−4]\left[\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ -3 \\ -4 \end{array}\right]是V2∩V2V_2∩V_2得一个基且dim(V2∩V2)=1dim(V_2∩V_2)=1。

维数定理

dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)−dim(V1∩V2)dim(V_1 + V_2) = dim(V_1) + dim(V_2) - dim(V_1∩V_2)

例

V1,V2V_1,V_2是线性空间VnV^n的两个子空间，dim(V1)+dim(V2)>ndim(V_1)+dim(V_2)>n。证明必存在α≠0α≠0，使得α∈V1∩V2α∈V_1∩V_2。

证明

明显(V1+V2)∈Vn(V_1 + V_2)∈V^n，有dim(V1+V2)≤ndim(V_1 + V_2) ≤ n

又有dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)>ndim(V_1) + dim(V_2) = dim(V_1 + V_2) + dim(V_1∩V_2) > n

故dim(V1∩V2)>n−dim(V1+V2)≥0dim(V_1∩V_2) > n - dim(V_1 + V_2) ≥ 0

dim(V1∩V2)>0dim(V_1∩V_2) > 0，即V1∩V2V_1∩V_2内一定有非零元。

直和

若V1+V2V_1+V_2中每个向量的分解式α=α1+α2   (α1∈V1,α2∈V2)α = α_1 + α_2 \ \ \ (α_1∈V_1, α_2∈V_2)都是唯一的，则称V1+V2V_1+V_2为直和。

记作

V1⊕V2V_1⊕V_2

等价形式

直和分解

若V=V1⊕V2V=V_1⊕V_2，则称V1V_1与V2V_2是互补的，两者互称为对方的补空间。称V1⊕V2V_1⊕V_2为VV的直和分解。

例1

V1={[x1x2x3x4]∣ 2x1+3x2−x3=0,x1+2x2+x3−x4=0}V_1 = \left\{ \left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right] \Big|\, 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0, x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 = 0 \right\}

V2={[2−1a+21],[−124a+8]}V_2 = \left\{ \left[\begin{array}{c} 2 & -1 \\ a+2 & 1 \end{array}\right] , \left[\begin{array}{c} -1 & 2 \\ 4 & a+8 \end{array}\right] \right\}

（1）求V1V_1的基与维数。
（2）aa为何值时V1+V2V_1+V_2是直和；当V1+V2V_1+V_2不是直和时，求V1∩V2V_1∩V_2的维数。

解

解{2x1+3x2−x3=0x1+2x2+x3−x4=0\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 = 0 \end{cases}，得[x1x2x3x4]=k1[1023]+k2[0135]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = k_1 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right] + k_2 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right]，即

[x1x2x3x4]=k1[1023]+k2[0135]\left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right] = k_1 \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}\right] + k_2 \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 3 & 5 \end{array}\right]

故dim(V1)=2dim(V_1)=2，base(V1)=[[1023][0135]]base(V_1)=\left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 3 & 5 \end{array}\right] \end{array}\right]

为直和即aa为何值时V1∩V2={0}V_1∩V_2=\{0\}

γ=x1[1023]+x2[0135]=x3[2−1a+21]+x4[−124a+8]γ= x_1 \left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}\right] + x_2 \left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 3 & 5 \end{array}\right] = x_3 \left[\begin{array}{c} 2 & -1 \\ a+2 & 1 \end{array}\right] + x_4 \left[\begin{array}{c} -1 & 2 \\ 4 & a+8 \end{array}\right]

即[x1−2x3+x4x2+x3−2x42x1+3x2−(a+2)x3−4x43x1+5x2−x3−(a+8)x4]=0\left[\begin{array}{c} x_1−2x_3+x_4 & x_2+x_3−2x_4 \\ 2x_1+3x_2−(a+2)x_3−4x_4 & 3x_1+5x_2−x_3−(a+8)x_4 \end{array}\right] = 0

即{x1−2x3+x4=0x2+x3−2x4=02x1+3x2−(a+2)x3−4x4=03x1+5x2−x3−(a+8)x4=0\begin{cases} x_1-2x_3+x_4=0 \\ x_2+x_3-2x_4=0 \\ 2x_1+3x_2−(a+2)x_3-4x_4=0 \\ 3x_1+5x_2-x_3-(a+8)x_4=0 \end{cases}

即[10−21011−223−a−2−435−1−a−8][x1x2x3x4]=Ax=0\left[\begin{array}{c} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -a-2 & -4 \\ 3 & 5 & -1 & -a-8 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = Ax = 0

则当r(A)=4   ⇔   ∣A∣≠0   ⇔   Ar(A)=4 { \ \ \ ⇔ \ \ \ } |A|≠0 { \ \ \ ⇔ \ \ \ } A可逆时V1+V2V_1+V_2是直和。

[10−21011−223−a−2−435−1−a−8]→初等行变换[10−21011−200−a−10000−a−1]\left[\begin{array}{c} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -a-2 & -4 \\ 3 & 5 & -1 & -a-8 \end{array}\right] \xrightarrow[]{初等行变换} \left[\begin{array}{c} 1&0&-2&1 \\ 0&1&1&-2 \\ 0&0&-a-1&0 \\ 0&0&0&-a-1 \end{array}\right]

当a≠−1a≠-1时，r(A)=4r(A)=4，是直和
当a=−1a=-1时，r(A)=2r(A)=2，（选取x3,x4x_3,x_4为自由变量）

γ=x3[2−111]+x4[−1247]γ= x_3 \left[\begin{array}{c} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] + x_4 \left[\begin{array}{c} -1 & 2 \\ 4 & 7 \end{array}\right]

则dim(V1∩V2)=2dim(V_1∩V_2)=2，base(V1∩V2)=[[2−111][−1247]]base(V_1∩V_2)=\left[\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{c} -1 & 2 \\ 4 & 7 \end{array}\right] \end{array}\right]

例2

Rn×nR^{n×n}的两个子空间，S1={A ∣ AT=A}S_1 = \{ A \bold{\ |\ } A^T=A \}，S2={A ∣ AT=−A}S_2 = \{ A \bold{\ |\ } A^T=-A \}

（1）证明Rn×n=S1⊕S2R^{n×n}=S_1⊕S_2
（2）当n=3n=3时，求S1S_1的一组基及dim(S2)dim(S_2)

证明

（1）

对于矩阵AA，若A∈S1A∈S_1，A∈S2A∈S_2则

{AT=AAT=−A   ⇒   A=−A   ⇒   A=0n×n\begin{cases} A^T=A \\ A^T=-A \end{cases} { \ \ \ ⇒ \ \ \ } A = -A { \ \ \ ⇒ \ \ \ } A = 0_{n×n}

即S1∩S2={0}S_1∩S_2 = \{0\}（保证了直和）

dim(S1)=1+2+⋯+(n−1)+ndim(S_1) = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n
dim(S2)=1+2+⋯+(n−1)dim(S_2) = 1 + 2 + \dots + (n-1)
dim(S1+S2)=dim(S1)+dim(S2)=n(n−1)+n=n2=dim(Rn×n)dim(S_1 + S_2) = dim(S_1) + dim(S_2) = n(n-1) + n = n^2 = dim(R^{n×n})

对任意矩阵AA，令B=A+AT2B=\dfrac{A+A^T}{2}，C=A−AT2C=\dfrac{A-A^T}{2}，则

A=B+C(B∈S1,C∈S2)\begin{matrix} A=B+C & (B∈S_1,C∈S_2) \end{matrix}

因此Rn×n⊆S1+S2R^{n×n} ⊆ S_1+S_2，反之亦然Rn×n⊇S1+S2R^{n×n} ⊇ S_1+S_2（保证了相等）。

即得Rn×n=S1⊕S2R^{n×n}=S_1⊕S_2

（2）

若A∈S1A∈S_1则

A=a11[100000000]+a22[000010000]+a33[000000001]+a12[010100000]+a13[001000100]+a23[000001010]A = \begin{array}{c} a_{11} \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]+ a_{22} \left[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]+ a_{33} \left[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ + \\ a_{12} \left[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]+ a_{13} \left[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]+ a_{23} \left[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \end{array}

明显dim(S1)=6dim(S_1) = 6

则dim(S2)=dim(R3×3)−dim(S1)=9−6=3dim(S_2) = dim(R^{3×3}) - dim(S_1) = 9 - 6 = 3