线性空间：赋范线性空间

• 线性空间：赋范线性空间
  • 定义
    • 向量范数
      • 范数等价
      • 范数收敛
  • 方阵空间（$R^{n×n}$）上的范数
    • 诱导范数（算子范数）
    • Frobenius范数
    • 谱半径
    • 特殊矩阵的性质

定义

设$V$是数域$P$上的线性空间，如果定义了从$V$到$R$的映射$N$，满足下列条件

• 正定条件：$N(a)=𝟎$当且仅当$a=𝟎$
• 非负齐次条件：$N(ka)=|k|N(a), (k∈P,a∈V)$
• 三角不等式：$N(a+b)≤N(a)+N(b), (a,b∈V)$

则称映射$N(a)$是$V$上的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。

向量范数

$L_0$	$L_1$	$L_2$	$L_p, \,\,(p≥1)$	$L_∞$
$\|x\|_0$	$\|x\|_1$	$\|x\|_2$、$\vert{x}\vert$	$\|x\|_p$	$\|x\|_∞$
向量中非零元素的个数	$\sum_{i=1}^{n} \vert{x_i}\vert$	$\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {x_i^2} }$	$(\sum\limits_{i=1}^{n}{\vert{x_i}\vert}^p)^{\frac{1}{p}}$	$\max\left\{\vert{x_1}\vert, \vert{x_2}\vert, \cdots. \vert{x_n}\vert\right\}$
	曼哈顿范数	欧式范数		切比雪夫范数

范数等价

若$\|a\|$和$\|a\|_*$是线性空间$V$中的两个向量范数，若存在$M>0,m>0$，使得对所有$a∈V$，都有

$m\|a\| ≤ \|a\|_* ≤ M\|a\|$

则称范数$\|a\|$和$\|a\|_*$等价。

有限维线性空间中任意两个向量范数都等价。

范数收敛

若$\{a^{(k)}\}$是赋范线性空间$V$中的向量序列，如果存在$a∈V$，使得$\lim\limits_{k→∞} |a^{(k)}-a| = 0$，则称序列$\{a^{(k)}\}$收敛于$a$。

• 在有限维线性空间中，若向量序列$\{a^{(k)}\}$按某种范数收敛于$a$，则$\{a^{(k)}\}$按任何范数都收敛于$a$；
• $base(V)$是赋范线性空间$V$的一组基，$a^{(k)}$在这组基下的坐标是$x^{(k)}$，$a$在这组基下的坐标是$x$，则$\{a^{(k)}\}$按范数收敛于$a$与$\{x^{(k)}\}$收敛于$x$等价。（该条保证了抽象问题具体化）

方阵空间（$R^{n×n}$）上的范数

若映射$N(A)$满足赋范线性空间定义中的三条，则称映射$N(A)$是$R^{n×n}$）上的广义矩阵范数。

• 相容条件：$N(AB) ≤ N(A)N(B) \ \ \ (A,B∈R^{n×n})$

若再满足上述条件，则称映射$N(A)$是$R^{n×n}$）上的矩阵范数。

相容

对$C^{n×n}$中的矩阵范数$\|A\|$，$C^n$中的向量范数$\|x\|_*$，如果对任意$A∈C^{n×n},x∈C^{n}$都有

$\|Ax\|_* ≤ \|A\| ⋅ \|x\|_*$

则称矩阵范数$\|A\|_*$与向量范数$\|x\|_*$相容。

• 对$C^{n×n}$中的矩阵范数$\|A\|$，$C^{n}$中一定存在与它相容的向量范数。
• 对给定向量范数，亦能找到相容的矩阵范数即诱导范数。

矩阵的$F-$范数、$2-$范数均与$\|x\|_2$相容。

诱导范数（算子范数）

$\|A\| = \max_{x≠0} \dfrac{\|Ax\|_*}{\|x\|_*}$

$\|A\|_1$	$\|A\|_2$	$\|A\|_∞$
$\max\limits_{1≤j≤n} \sum\limits_{i=1}^{n} \vert{a_{ij}}\vert$	$\sqrt{λ_{max} (A^TA)}$	$\max\limits_{1≤i≤n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vert{a_{ij}}\vert$
$A$的列范数	$A$的2-范数	$A$的行范数

Frobenius范数

$\|A\|_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} |a_{ij}|^2 } = \sqrt{tr^{[1]}(A^HA)} = \sqrt{\sum λ(A^TA)}$

谱半径

$ρ(A) = \max\limits_{1≤i≤n} |λ_i| = \min_{*} \|A\|_*$

谱半径是矩阵所有特征值中绝对值最大的，是所有矩阵范数中最小的（$ρ(A) ≤ \|A\|$）。

特殊矩阵的性质

设$U,V$是$n$阶正交阵则

• $\|UAV\|_2 = \|UA\|_2 = \|AV\|_2 = \|A\|_2$
• $\|UAV\|_F = \|UA\|_F = \|AV\|_F = \|A\|_F$

设$A$为$n$阶对称矩阵，$λ_i$为其特征值，则

• $\|A\|_2 = \max \{ λ_i \}$
• $\|A\|_F = \sum λ_i^2$