线性空间：内积空间

• 线性空间：内积空间
  • 定义
  • 导出范数
  • 夹角
  • 内积表示
    • 例
  • 标准正交系

定义

对于实数$R$上的线性空间$V$，有$α,β,γ∈V,k∈R$，在$V×V$上定义了实函数$(α,β)$，满足以下条件

• 对称性：$(α,β) = (β,α)$
• 线性性：
  • $(α+γ,β) = (α,β) + (γ,β)$
  • $(kα,β) = k(α,β)$
  • $(α,0) = (0,β) = 0$
• 正定性：
  • $(α,α)≥0$
  • $(α,α)=0 { \ \ \ ⇔ \ \ \ } α=0$

则称实数$(α,β)$为向量$α$与$β$的内积，称定义了内积的线性空间$V$为内积空间。

导出范数

$\|α\| = \sqrt{(α,α)}$

由内积导出的范数，称为导出范数。

夹角

Cauchy-Schwarz不等式：$(α,β)^2 ≤ (α,α)(β,β)$

$\cosθ = \dfrac{(α,β)}{\|α\|\|β\|}$

• $θ=0$：同向
• $θ=\frac{π}{2}$：正交，记为$α⊥β$
• $θ=π$：反向

若$α⊥β$，则

$\|α+β\|^2 = \|α\|^2 + \|β\|^2$

内积表示

在$n$维内积空间$V$中，取基$e$，对于$V$中任意两个向量$α,β$有

• $α = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n$
• $β = y_1e_1 + y_2e_2 + \cdots + y_ne_n$

则$(α,β) = α^Tβ = (ex)^T(ey) = x^T(e^Te)y = x^TAy =$

$\left[\begin{array}{c} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} (e_1,e_1) & (e_1,e_2) & \cdots & (e_1,e_n) \\ (e_2,e_1) & (e_2,e_2) & \cdots & (e_2,e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (e_n,e_1) & (e_n,e_2) & \cdots & (e_n,e_n) \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right]$

即

$(α,β) = x^TAy$

• $A=e^Te$，称为$V$在$e$下的度量矩阵，$A$一定是正定矩阵。

上式称为内积的表示式。

例

如果内积空间在基$e=(e_1, e_2, e_3)$下的度量矩阵$A = \left[\begin{array}{c} 10 & -3 & 4 \\ -3 & 20 & 1 \\ 4 & 1 & 30 \end{array}\right]$，求向量$α = 3e_1 + 2e_2 - e_3$的长度$\|α\|$，及它与$β = e_1 + 2e_2$的夹角。

解

$α = e \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]$，$β = e \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right]$

$(α, α) = \left[\begin{array}{c} 3 & 2 & -1 \end{array}\right] A \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right] = 136$

$(β, β) = \left[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \end{array}\right] A \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right] = 78$

$(α, β) = \left[\begin{array}{c} 3 & 2 & -1 \end{array}\right] A \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right] = 80$

$\cosθ = \dfrac{(α,β)}{\|α\|\|β\|} = \dfrac{80}{\sqrt{136}\sqrt{78}}$

$θ = \arccos \dfrac{80}{\sqrt{136}\sqrt{78}}$

标准正交系

内积空间中一组向量$α_1,α_2,,\dots,α_n$，若

$(α_i,α_j) = 0 \ \ \ (i≠j;\ i,j=1,2,\dots,n)$

则称这组向量为正交组（正交组一定是无关组）。若还满足$\|α_k\|=1,\ (k=1,2,\dots,n)$，则称$α_1,α_2,,\dots,α_n$为$V$中的一个标准正交系（标准正交基），此时的度量矩阵为单位阵。

在$n$维内积空间$V$中必存在标准正交基，可通过将普通基经过Schmidt正交化得到。