概论

• 概论
  • 矩阵（Matrix）
    • 矩阵的定义
    • 子式
    • 主子式
    • 顺序主子式
  • 行列式（Determinant）
    • 行列式的定义
    • 奇异矩阵
    • 余子式
    • 代数余子式
  • 初等变换
  • 矩阵的迹
    • 矩阵的$k$阶迹
  • 矩阵的逆
  • 矩阵的秩
  • 两个矩阵关系
    • 等价
    • 相似
    • 合同
  • 正定

矩阵（Matrix）

矩阵的定义

矩阵是描述线性代数中线性关系的参数，即矩阵是一个线性变换， 可以将一些向量转换为另一些向量。

子式

在$m×n$矩阵中，任取$k$行$k$列（$k≤n$），不改变这$k^2$个元素在A中的次序，得到的$k$阶方阵，称为$k$阶子式。

主子式

在满足$k$阶子式的前提下，要求所选行和列的序数相同，称为$k$阶主子式。

顺序主子式

$n$阶方阵的前$k$行$k$列（$k≤n$）组成的方阵称为$k$阶顺序主子式。

行列式（Determinant）

行列式的定义

行列式表示一个线性变换，对面积（体积或是其它超维概念）的影响。

奇异矩阵

若方阵$A$的行列式的值等于0，那么方阵$A$叫做奇异矩阵，否则叫做非奇异矩阵。

余子式

把$a_{ij}$所在行，所在列的元素删去后，剩下$(n-1)^2$个元素组成的行列式$M_{ij}$称为余子式。

代数余子式

$A_{ij}=(-1)^{(i+j)}M_{ij}$

初等变换

1. 交换两行（列）：$(r_i↔r_j)$、$(c_i↔c_j)$。
2. $k$乘以某一行（列）：$(r_i×k)$、$(c_i×k)$。
3. 某行（列）的$k$倍加到另一行上：$(r_i+kr_j)$、$(c_i+kc_j)$。

矩阵的迹

一个$n×n$矩阵$A$的主对角线上各个元素的总和被称为矩阵$A$的迹（迹数）。

$tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$

矩阵的$k$阶迹

矩阵$A_{n×n}$的所有$k$阶主子式的行列式的和称作$A$的的$k$阶迹，记作$tr^{[k]}(A)$。

• $tr^{[1]}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$
• $tr^{[n]}(A) = |A|$

矩阵的逆

若存在$AB=BA=E$，则称矩阵$B$是矩阵$A$的逆矩阵。$A$被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。

性质

• 若$A$可逆，则$A$的逆矩阵存在且唯一
• 若$A$可逆，则$A$一定为方阵
• 若$A$可逆，则$r(A)=n$
• 若$A$可逆，则$r(AB)=r(BA)=r(B)$
• $|A| \neq 0 ⇔ A$可逆
• $AB=AC ⇒ A^{-1}AB=A^{-1}AC ⇒ B=C$
• $r(A+B)≤r(A)+r(B)$
• $r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B)$
• $A_{m×n}$，$B_{n×s}$，$AB=O$,$r(A)+r(B)≤n$

矩阵的秩

若矩阵$A$有一个子式$B_{r×r} \,,\, |B_{r×r}| \neq 0$，且$(r+1)$阶子式不存在或其行列式全部为$0$，则$B$称为$A$的最高阶非零子式，$r$称为矩阵$A$的秩。记作：$r(A)=r$

两个矩阵关系

等价

若矩阵$A$经过有限次初等变换变成了矩阵$B$，就称$A$与$B$等价。记作：$A ≌ B$

等价的充要条件

$A$与$B$同型且等秩。

相似

若存在可逆矩阵$P$且$P^{-1}AP=B$，则称$A$与$B$相似，记作：$A ∼ B$

合同

若存在可逆矩阵$C$且$C^TAC=B$，则称$A$与$B$合同，记作：$A ≃ B$

正定

对于方阵$A_{n×n}$，若任意$n$阶向量$x$，都有$x^TAx>0$，则称矩阵A为正定矩阵。若$x^TAx≥0$则矩阵$A$为半正定矩阵。