特征值和特征向量

• 特征值和特征向量
  • 定义
  • 重数
  • 相似对角化
  • 圆盘定理
    • 定理
    • 性质
      • 例1
      • 例2
      • 例3

线性代数的本质：特征值和特征向量

$Aλ=λξ, \ \ \ \ \ \ ξ \neq 0$

定义

$Aλ=λξ, \ \ \ ξ \neq 0$

$\begin{array}{l} ⇒ & λEξ-Aξ = 0 \\ \\ ⇒ & (λE-A)ξ = 0 \\ \\ ⇒ & |λE-A| = 0 \\ \end{array}$

特征值	特征向量	特征多项式	特征方程
$λ$	$ξ$	$\vert{λE-A}\vert$	$\vert{λE-A}\vert=0$

特征多项式

$\begin{array}{l} |{λE-A}| \\ \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k tr^{[k]} (A) λ^{n-k} \\ \\ = λ^n - tr^{[1]}(A)λ^{n-1} + \cdots + (-1)^n|A| \end{array}$

性质

• $\sum_{i=1}^{n}λ_i = tr(A) = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$
• $\prod_{i=1}^{n}λ_i=|A|$
• 不同特征值的特征向量线性无关

重数

几何重数

如果$A$的属于特征值$λ_s$的线性无关特征向量有$s$个，则称特征值$λ_s$的几何重数是$s$。

代数重数

如果$λ_m$是$A$的特征方程$|λE-A| = 0$的$m$重根，则称特征值$λ_m$的代数重数是$m$。

相似对角化

若$A$相似于对角阵（记作$A∼Λ$），则称$A$可相似对角化，称$A$为单纯矩阵。

充要条件

• $A$有$n$个线性无关的特征向量${ \ \ \ ⇔ \ \ \ }A$可相似对角化

充分条件

• $A$有$n$个不同的特征值${ \ \ \ ⇒ \ \ \ }A$可相似对角化
• $λ_i$是矩阵$A$的$m_i$重特征值，且满足$m_i = n-r(A-λ_iE){ \ \ \ ⇒ \ \ \ }A$可相似对角化

圆盘定理

$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

定理

以矩阵第$i$行第$i$个元素的$(a,b)$为圆心（$a$为元素实部、$b$为元素虚部），第$i$行其它元素的模的和为半径，刻画⚪（实边）到复平面上。则$n$阶矩阵可画$n$个圆盘。

定理1

特征值属于所有⚪的并集。

定理2

每个连续的独立的部分，有几个⚪就有几个特征值。

性质

• $n$个圆盘都不相交${ \ \ \ ⇒ \ \ \ }A$可相似对角化
• 若$A$为实矩阵，对特征多项式进行分解
  • 分解出一个一次项，出来一个实根
  • 分解出一个二次项，出现一对虚根，即实矩阵虚根一出出一对
• $n$个圆盘都不相交且$A$是实矩阵${ \ \ \ ⇒ \ \ \ }A$的特征值全是实数

例1

$A = \left[\begin{array}{c} 1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\\\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} & i & 0 \\\\ 0 & -\dfrac{i}{2} & 5 & \dfrac{i}{2} \\\\ -1 & 0 & 0 & 5i \end{array}\right]$

画出矩阵$A$的圆盘图

解

例2

$A_{4×4} = \left[\begin{array}{c} 9 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 8 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]$

证明$A$至少有两个实根。

解

$A$为实矩阵，所以

$|{λE-A}| = λ^4 + a_2λ^3 + a_3λ^2 + a_4λ + |A|$

为实系数多项式。

左侧仅有一个根，且必为实根（因为虚根成对出现）。

右侧有三个根，可能存在如下两种情况

• 2虚1实
• 3实

综上，$A$至少有两个实根。

例3

$A = \left[\begin{array}{c} 4 & \frac{1}{4} & (\frac{1}{4})^2 & \cdots & (\frac{1}{4})^{n-1} \\ \\ \frac{1}{5} & 5 & (\frac{1}{5})^2 & \cdots & (\frac{1}{5})^{n-1} \\ \\ \frac{1}{6} & (\frac{1}{6})^2 & 6 & \cdots & (\frac{1}{6})^{n-1} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{1}{n+3} & (\frac{1}{n+3})^2 & \cdots & (\frac{1}{n+3})^{n-1} & n+3 \end{array}\right]$

证明矩阵$A$所有特征值都为实数，且可逆，可相似对角化。

解

• 等比数列前$n$项和：$S_n = a_1 \dfrac{1 - r^n}{1 - r}$
• $1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \dfrac{1 - r^n}{1 - r}$
• $r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \dfrac{r - r^n}{1 - r}$

• $S_4(n-1) = \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{4})^2 + (\dfrac{1}{4})^3 + \cdots + (\dfrac{1}{4})^{n-1} = \dfrac{ \dfrac{1}{4} - (\dfrac{1}{4})^{n} }{ 1 - \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{3} ( 1 - \dfrac{1}{4^{n-1}} ) < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$
• $S_5(n-1) = \dfrac{1}{5} + (\dfrac{1}{5})^2 + (\dfrac{1}{5})^3 + \cdots + (\dfrac{1}{5})^{n-1} = \dfrac{ \dfrac{1}{5} - (\dfrac{1}{5})^{n} }{ 1 - \dfrac{1}{5} } = \dfrac{1}{4} ( 1 - \dfrac{1}{5^{n-1}} ) < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$
• $S_i(n-1) = \dfrac{1}{i-1} ( 1 - \dfrac{1}{i^{n-1}} ) < \dfrac{1}{i-1} < \dfrac{1}{2}, { \ \ \ } i≥4$

故可以画出圆盘图如下图所示

$n$个圆盘互不相交，$n$个圆盘均在右半平面即不包含原点。

所以$A$有个$n$个互不相同的实特征值，故$A$可逆且可相似对角化。