极限

极限

函数的极限

定义

$\lim_{x→x_0} f(x)=A \,\,⇔\,\, ∀ε>0, ∃δ>0, \,if\, 0<|x-x_0|<δ, \,then\, |f(x)-A|<ε$

给定一个 $ε$ ，不论 $ε$ 有多小，总存在一个大于 $x$ 与 $x_0$ 之距离的 $δ$ ，使 $f(x)$ 与 $A$ 的距离小于 $ε$ 。

充要条件

$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A \,\,⇔\,\, \lim\limits_{x→x_0^-}f(x) = \lim\limits_{x→x_0^+}f(x) = A$
$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A \,\,⇔\,\, f(x)=A+α(x), \lim\limits_{x→x_0}α(x)=0$

运算规则

$\lim f(x)=A$ 、 $\lim g(x)=B$

$\lim [ C_1 ⋅ f(x) ± C_2 ⋅ g(x) ] = C_1A ± C_2B$
$\lim [ f(x) ⋅ g(x) ] = AB$
$\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \dfrac{A}{B},\,(B≠0)$

数列的极限

定义

$\lim_{n→∞} x_n=A \,\,⇔\,\, ∀ε>0, ∃N∈\bold{N^+}, \,if\, n<N, \,then\, |x_n-A|<ε$

充要条件

$\lim\limits_{n→∞} x_n=A \,\,⇔\,\, \lim\limits_{k→∞} x_{n_k}=A$ ， $x_{n_k}$ 使 $x_n$ 的子数列。

运算规则

$\lim x_n=A$ 、 $\lim y_n=B$

$\lim ( x_n ± y_n) = A ± B$
$\lim ( x_n ⋅ y_n) = AB$
$\lim \dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B},\,(y_n≠0)$

极限的性质

收敛数列的极限	函数在某点处的极限
唯一性	唯一性
有界性	局部有界性
保号性	局部保号性

极限存在的充分条件

等价替换
单调有界准则
夹逼准则

两个重要极限

$\lim_{x→0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x→0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

函数连续性

定义1

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\,\,⇔\,\, \lim\limits_{Δx→0} Δy = \lim\limits_{Δx→0} [f(x_0+Δx)-f(x_0)] = 0$

定义2

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\,\,⇔\,\, \lim\limits_{x→x_0} f(x) = x_0$

多元函数极限

略