导数

• 导数
  • 导数定义
  • 求导方法
    • 公式法
    • 复合求导
  • 导数应用
    • 单调性
    • 极值
    • 最值
  • 导数与微分
  • Taylor展开
  • 偏导数
  • 梯度
    • 方向导数
    • 梯度

导数定义

求导方法

公式法

复合求导

导数应用

驻点：导数值等于零的点。

单调性

极值

最值

导数与微分

$y = y(x)$

• $y'(x) = \dfrac{ {\rm d}y }{ {\rm d}x }$
• $y''(x) = \dfrac{ {\rm d} (\dfrac{ {\rm d} y}{ {\rm d}x}) }{ {\rm d}x } = \dfrac{ {\rm d}^2y}{ {\rm d}x^2}$
• $x'(y) = \dfrac{ {\rm d}x }{ {\rm d}y } = \dfrac{1}{y'(x)}$
• $x''(y) = \dfrac{ {\rm d} (\dfrac{ {\rm d}x}{ {\rm d}y}) }{ {\rm d}y } = \dfrac{ {\rm d} (\dfrac{1}{y'(x)}) }{ {\rm d}x } ⋅ \dfrac{ {\rm d} x }{ {\rm d}y } = -\dfrac{y''(x)}{[y'(x)]^3}$

Taylor展开

$f(x) = \dfrac{f(x_0)}{0!} + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$

偏导数

偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其它变量恒定不变。

$z = f(x,y)$

• $f''_{xx}= \dfrac{∂(\dfrac{∂z}{∂x})}{∂x} = \dfrac{∂^2z}{∂x^2}$
• $f''_{yy}= \dfrac{∂(\dfrac{∂z}{∂y})}{∂y} = \dfrac{∂^2z}{∂y^2}$
• $f''_{xy}= \dfrac{∂(\dfrac{∂z}{∂x})}{∂y} = \dfrac{∂^2z}{∂x∂y}$
• $f''_{yx}= \dfrac{∂(\dfrac{∂z}{∂y})}{∂x} = \dfrac{∂^2z}{∂y∂x}$

梯度

方向导数

若函数$f(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处沿方向$l$（方向角：$α$、$β$、$γ$）存在下列极限

$\lim_{ρ→0} \dfrac{Δf}{ρ} = \lim_{ρ→0} \dfrac{ f(x_0+Δx,y_0+Δy,z_0+Δz) - f(x_0,y_0,z_0) }{ρ} = \dfrac{Δf}{Δl}$

• $ρ = |Δ\vec{l}| = \sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2}$
  • $Δx = ρ\cos α$
  • $Δy = ρ\cos β$
  • $Δz = ρ\cos γ$

则称$\dfrac{Δf}{Δl}$为函数在点$P_0$处的方向导数。且有

$\dfrac{∂f}{∂l} = \dfrac{∂f}{∂x}\cos α = \dfrac{∂f}{∂y}\cos β = \dfrac{∂f}{∂z}\cos γ$

梯度

令$\vec{G} = (\dfrac{∂f}{∂x}, \dfrac{∂f}{∂y}, \dfrac{∂f}{∂z})$，$\vec{l}_0 = (\cos α, \cos β, \cos γ)$，当$\vec{G}$与$\vec{l}_0$方向一直时，变化率最大，此时$\vec{G}$称为函数$f$在$P_0$处的的梯度（Gradient），记作

$gradf = (\dfrac{∂f}{∂x}, \dfrac{∂f}{∂y}, \dfrac{∂f}{∂z}) = ▽f$

• 函数沿梯度方向增加（上升）最快
• 函数沿负梯度方向减小（下降）最快